Barisan dan Deret
Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 2. Suku pertama disimbolkan dengan U1 atau a. Lalu, di suku kedua (U2), yaitu 5. Suku ketiga (U3), yaitu 8, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda 3 pada setiap sukunya.
(setiap suku memiliki selisih atau beda, yaitu 3)
Barisan aritmetika terdiri dari 2 jenis, yaitu barisan naik dan barisan turun. Berikut penjelasan masing-masing jenis.
1. 2, 5, 8, 11, 14,….. Jadi bedanya bernilai 3 (positif), maka baris ini adalah barisan naik.
2. 45, 43, 41, 39,…… Jadi nilai beda merupakan -2 (negatif), maka barisan disebut barisan turun.
Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap.
Rumus Barisan Aritmatika
Berikut cara dan rumus yang berlaku pada barisan aritmatika.
U1, U2, U3, U4, U5, U6, …, Un – 1 , Un
Dari barisan tersebut diperoleh
U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a)
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b
…
Un = Un − 1 + b = (a + (n − 2) b ) + b = a + (n − 1) b
Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut.
Un = a + (n – 1) b
Keterangan:
a = U1 = suku pertama dalam barisan aritmatika.
b = beda barisan aritmatika = Un – Un-1 dengan n adalah banyaknya suku
n = jumlah suku
Un = jumlah suku ke n
Lalu, bagaimana cara mencari nilai beda? Simak penjelasan berikut.
U2 = U1 + b maka b = U2 − U1
U3 = U2 + b maka b = U3 − U2
U4 = U3 + b maka b = U4 − U3
U5 = U4 + b maka b = U5 − U4
…
Un = Un − 1 + b maka b = Un − Un-1
Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut.
b = Un − Un-1
Keterangan:
b = beda barisan aritmatika = Un – Un-1 dengan n adalah banyaknya suku
Un = jumlah suku ke n
Un-1 = jumlah suku ke n-1
Contoh Soal Barisan Arimatika
1. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.
10, 13, 16, 19, 22, 25, ….
Tentukan:
a. jenis barisan aritmetikanya,
b. suku kedua belas barisan tersebut.
Jawab:
a. Untuk menentukan jenis barisan aritmetika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut.
b = U2 − U1
b = 13 – 10
b = 3
Jawabannya adalah baris aritmetika naik.
b. Suku kedua belas dapat disimbolkan menjadi U12. Berikut cara mencarinya.
U12 = a + (n – 1)b
U12 = 10 + (12 – 1)3
U12 = 10 + 33
U12 = 43
2.Si Dadap berhasil lulus ujian saringan masuk PT (Perguruan Tinggi). Sebagai mahasiswa, mulai 1 Januari 2008 ia menerima uang saku sebesar Rp. 500.000,00 untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap permulaan triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya uang saku yang diterimanya dinaikkan sebesar Rp. 25.000. Berapa besar uang saku yang akan diterima si Dadap pada awal tahun 2011?
Penyelesaian:
Triwulan ke-1: u1 = a = Rp. 500.000,00
Triwulan ke-2: u2 = a + b = Rp. 525.000,00, dst
Jadi b = 25.000.
Pada awal tahun 2011 telah dipakai kuliah selama 3 tahun atau 12 triwulan, berarti: u12 = a + (12 – 1)b = 500.000 + (11 x 25.000) = 775.000
Jadi besarnya uang yang akan diterima si Dadap pada awal tahun 2011 adalah Rp. 775.000,00.
3.Diketahui suku ke-1 dari barisan aritmetika adalah 6 dan suku kelimanya 18, tentukan pembedanya.
Penyelesaian:
Diketahui a = 6, dan U5 = 18
Un = a + ( n – 1) b
U5 = 6 + (5 – 1) b
18= 6 + 4b
4b = 12
b = 3
Jadi pembedanya adalah 3.
4.Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmetika : 17, 15, 13, 11,…
Penyelesaian:
Diketahui a = 17, b = -2, dan n = 21,
maka U21 = 17 + (21-1)(-2) = -23
Jadi, suku ke-21 dari barisan aritmatika tersebut adalah -23
5.Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …
Pembahasan:
Diketahui: a = 5 b = –7
Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?
Jawab:
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏
= 5 + (𝑛 − 1)(−7)
= 5 − 7 𝑛 + 7
= 12 − 7 𝑛
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 𝑈𝑛 = 12 − 7𝑛
2. BARISAN GEOMETRI
Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur.
Comments
Post a Comment