eksponen dan logaritma

 Eksponen dan logaritma

-Definisi:

 Eksponen adalah suatu bentuk perkalian dengan bilangan yang sama kemudian di ulang-ulang, yaa semacam perkalian yang diulang-ulang 

-Sifat sifat eksponen:

Ada beberapa sifat yang bisa kamu ketahui dalam memahami eksponen, di antaranya:

 

1) Pangkat Penjumlahan

am . an = am + n    (perkalian eksponen dengan basis yang sama, maka pangkatnya harus ditambah)

Contoh: 42 . 43 = 42 + 3 = 45

2) Pangkat Pengurangan

am : an = am – n    (pembagian eksponen dengan basis yang sama, maka pangkatnya harus dikurang)

Contoh: 45 : 43 = 45 – 3 = 42

3) Pangkat Perkalian

(am)n = am x n    (jika bilangan berpangkat dipangkatkan lagi, maka pangkatnya harus dikali)

Contoh: (42)3 = 42 x 3 = 46

4) Perkalian Bilangan yang Dipangkatkan

(a . b)m = am . bm    (perkalian bilangan yang dipangkatkan, maka masing-masing bilangan tersebut dipangkatkan juga)

Contoh: (3. 5)2 = 32. 52

5) Perpangkatan pada Bilangan Pecahan

Untuk bilangan pecahan yang dipangkatkan, maka bilangan pembilang dan penyebutnya harus dipangkatkan semua, dengan syarat nilai “b” atau penyebutnya tidak boleh sama dengan 0.

6) Pangkat Negatif

Pada sifat ini, jika (an)di bawah itu positif, maka saat dipindahkan ke atas menjadi negatif. Begitu juga sebaliknya, jika (an) di bawah itu negatif, maka saat dipindahkan ke atas menjadi positif.

7) Pangkat Pecahan

Pada sifat ini, kamu bisa lihat, terdapat akar n dari am. Nah, ketika diubah jadi eksponen, akar n menjadi penyebut dan pangkat m menjadi pembilang, dengan syarat nilai n harus lebih besar atau sama dengan dua (n ≥ 2).

8) Pangkat Nol

a0 = 1. Untuk sifat yang satu ini, syaratnya nilai a tidak boleh sama dengan 0 ya, karena kalo a = 0, maka hasilnya tidak terdefinisi. 

Nah, ke-8 sifat eksponen di atas harus kamu pahami benar-benar ya, karena seringkali dalam satu buah soal eksponen, terdapat banyak sifat eksponennya. Kalau kamu nggak benar-benar paham, kamu akan sangat kebingungan dalam mengerjakannya. Oke, sekarang kita coba mengerjakan sebuah soal ya!

 

Contoh Soal Eksponen

 1. (-2)⁵

Jawaban:

-2×-2×-2×-2×-2 = -32

Jika bilangan negatif eksponennya ganjil, hasilnya akan negatif.

2. 2².2³.2⁴.2⁵/2⁶.2⁷

Jawaban

2¹⁴/2¹³

= 12¹⁴⁻¹³

= 2¹ = 2

3.  3⁴ : 3²

Jawaban

3⁴⁻² = 3²

Karena soalnya pembagian maka eksponennya dikurang

4. Tentukan nilai dari variabel a dengan persamaan di bawah ini:

a. (10a²)³ : (5a²)² = 360

Pembahasan:

(10a²)³ : (5a²)² = 360

360 = (1000 x a6) : (25 x a4)

360 = (100 : 25) x (5a)6-4

360 = 4 x 5a2

360 = 40a²

360 : 40 = a²

9 = a²

a = 3

5. 1.Pada tahun 2020, jumlah penduduk kabupaten A adalah 278.741 jiwa, berapakah perkiraan jumlah penduduk kabupaten A pada tahun 2030 jika diketahui laju pertumbuhan penduduk eksponensial nya adalah 2,99% ?

Penyelesaian:

Diketahui : 

PO : 278 741

T : 2030 – 2020 = 10

R : 2,99 % = 0,0299

Pt : poert 

=278 741 e (0,0299) (10)

=278 741 x 1,34850962347291

=375 885

Jadi, perkiraan jumlah penduduk kabupaten A pada tahun 2030 adalah 375 885 jiwa.

Logaritma

-Definisi:

Secara garis besar, logaritma merupakan sebuah operasi invers (kebalikan) dari eksponen atau perpangkatan.

-Sifat-Sifat Logaritma

Logaritma memiliki beberapa sifat yang penting untuk kamu pahami. Dengan memahaminya, kamu pun bisa menyelesaikan soal logaritma dengan lebih mudah.

Sifat sifat logaritma

Apa saja ya sifat-sifat logaritma? Simak daftarnya berikut ini!

alog a = 1

alog 1 = 0

an log bm = m/n alog b, di mana n ≠ 0

alog b = 1/ blog a

alog b = plog b/plog a , di mana p > 0, p ≠ 1

a alogb = b

alog b x blog c = alog c

alog bc = alog b + a log c

alog b/c = alog b - alog c

Hmm, terlihat rumit dan njelimet, ya? Tenang saja, Detikers. Kamu tidak perlu langsung pusing atau bingung dengan melihat poin-poin di atas. Sebab, sebenarnya sifat-sifat logaritma di atas bisa kamu pahami dengan sangat mudah kalau kamu langsung menggunakannya untuk mengerjakan latihan-latihan soal logaritma, kok!

Contoh soal 1

2log 16 = ...

Jawab:

2log 16 = 2log 2 4

= 4 x 2log 2 (ingat alog a = 1)

= 4 x 1

= 4

Contoh soal 2.

5log 100 - 5log 4 = ...

Jawab:

5log 100 - 5log 4 = 5log 100/4

= 5log 25

= 5log 5.5

= 2 x 5log 5

= 2 x 1

= 2

Contoh soal 3.

Tentukanlah nilai dari logaritma berikut ini:

Nilai pada logaritma (2log 8) + (3log 9) + (5log 125)

Jawaban:

a.(2log 8) + (3log 9) + (5log 125)

zb.(2log 1/8) + (3log 1/9) + (5log 1/125) = (2log 2 /−3) + (3log 3 /−2) + (5log 5 /−3) = (− 3 − 2 – 3) = − 8j

Jadi, nilainya adalah: 8 dan 8j. 

Contoh soal ke 4.

Diketahui 2log 8 = a dan 2log 4 = b. Tentukan nilai dari 6log 14!

Jawaban:

Untuk 2 log 8 = a

= (log 8 / log 2) = a

= log 8 = a log 2

Untuk 2 log 4 = b

= (log 4 / log 2) = b

= log 4 = b log 2

16 log 8 = (log 16) / (log68)

= (log 2.8) / (log 2.4)

= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)

= (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)

= log2 (1+ a) / log 2( 1+ b)

= (1+a) / (1+ b)

Contoh soal ke 5.

Diketahui log 3 = 0,332 dan log 2 = 0,225. Log 18 adalah……..

Jawaban:

Log 18 = log 9 . log 2

Log 18 = (log 3.log 3) . log 2

Log 18 = 2 . (0,332) + (0,225)

Log 18 = 0,664 + 0,225

Log 18 = 0,889

Jadi, log 18 adalah 0,889.